Mange studenter som studerer avansert matematikk i avanserte emner, har sikkert lurt på: hvor brukes differensialligninger (DE) i praksis? Som regel diskuteres ikke dette spørsmålet på forelesninger, og lærere går umiddelbart videre til løsningen av kontrollteorien uten å forklare studentene bruken av differensialligninger i det virkelige liv. Vi vil prøve å fylle dette gapet.
Vi starter med å definere en differensialligning. Så er en differensialligning en ligning som knytter verdien av en derivatfunksjon til selve funksjonen, verdiene til en uavhengig variabel og noen tall (parametere).
Det vanligste området der differensialligninger brukes, er den matematiske beskrivelsen av naturfenomener. De brukes også til å løse problemer der det er umulig å etablere en direkte sammenheng mellom noen verdier som beskriver en prosess. Slike oppgaver oppstår innen biologi, fysikk og økonomi.
I biologi:
Den første vesentlige matematiske modellen som beskrev biologiske samfunn, var Lotka-Volterra-modellen. Den beskriver en populasjon av to interagerende arter. Den første av dem, kalt rovdyr, dør i henhold til loven x '= –ax (a> 0) i fravær av det andre, og det andre, ofre, i mangel av rovdyr multipliserer seg ubegrenset i samsvar med Malthus-loven. Interaksjonen mellom disse to artene er modellert som følger. Ofrene dør ut med en hastighet som tilsvarer antallet møter av rovdyr og ofre, som i denne modellen antas å være proporsjonal med antallet av begge bestandene, dvs. lik dxy (d> 0). Derfor y '= by - dxy. Rovdyr reproduserer med en hastighet proporsjonal med antall spiste byttedyr: x '= –ax + cxy (c> 0). Ligningssystem
x '= –ax + cxy, (1)
y '= av - dxy, (2)
som beskriver en slik populasjon, er et rovdyr et bytte og kalles Trays - Volterra-systemet (eller modellen).
I fysikk:
Newtons andre lov kan skrives i form av en differensiallikning
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), der m er massen til kroppen, er x dens koordinat, F (x, t) er kraften som virker på kroppen med koordinaten x på tidspunktet t. Hans løsning er banen til kroppen under den angitte styrken.
